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導數(shù)的概念教學設(shè)計與反思篇一

(一)知識目標

1．通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵、2．通過函數(shù)圖象直觀了解導數(shù)的幾何意義、

（二）能力目標

掌握用定義法求函數(shù)的導數(shù)的一般步驟，并能利用函數(shù)的導數(shù)知識解決一些應(yīng)用性問題、

（三）情感目標

通過“極限法”的學習，提高學生的數(shù)學素質(zhì)，加強學生分析問題和解決問題的能力，認識事物之間的相互聯(lián)系，會用聯(lián)系的觀點看問題、

導數(shù)的定義與求導的方法、

對導數(shù)概念的理解、

（一）復習引入

師：前面我們研究了兩類問題，一類來自物理學，涉及平均速度和瞬時速度；另一類問題來自幾何學，涉及割線斜率和切線斜率、你們能否將這兩類問題所涉及的共性表述出來？

生：這兩類問題都涉及到以下幾件事：（1）一個函數(shù)f（x）；（2）f（x+d）－f（x）；

f(xd)f(x)（3）；

df(xd)f(x)趨于一個確定的常數(shù)、

d師：很好，我們發(fā)現(xiàn)上述兩類問題雖然來自的學科領(lǐng)域，但有著相同的數(shù)學模型，今天我們就一起來研究這個數(shù)學模型——導數(shù)的概念和幾何意義、

（二）探求新知

1.增量、變化率的概念（4）當d趨于0時，對于函數(shù)yf(x)，p0(x0，y0)是函數(shù)圖象上的一點，q(x1，y1)是另一點，自變量從x0變化為x1時，相應(yīng)的函數(shù)值有y0變?yōu)閥1，其中x1－x2叫做自變量x的增量，記為△x，y1－y0叫做函數(shù)的增量（也叫函數(shù)的差分），記為△y，則yf(x1)f(x0)、y叫做函數(shù)的

x變化率（或函數(shù)f(x)在步長為△x的差商）、★光滑曲線上某點切線的斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限、★物體運動的瞬時速度的本質(zhì)——位移平均變化率的極限

2．導數(shù)定義

f(x0d)f(x0)設(shè)函數(shù)f(x)在包含x0的某個區(qū)間上有定義，如果比值在d趨于0時，

d（d≠0）趨于確定的極限值，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)或微商，記做f(x)、上述定義的符號表示為：f(x0d)f(x0)f(x0)(d0)、

d這個表達式讀作“d趨于0時，f(x0d)f(x0)趨于f(x0)、

d簡單地說：函數(shù)的瞬時變化率，在數(shù)學上叫做函數(shù)的導數(shù)或微商

★f(x)也是關(guān)于x的函數(shù)，叫做函數(shù)f(x)的導函數(shù)

3．求導數(shù)的步驟

（1）求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)、；（2）求平均變化率

yf(x0x)f(x0)=；xx（3）令△x→0，差商→f(x0)、

4．導數(shù)的幾何意義

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點p（x0，f(x0)）處的切線的斜率f(x0)、

5．導數(shù)的物理意義

函數(shù)ss(t)在點t0處的導數(shù)s(t0)的物理意義是運動物體在時刻t0處的瞬時速度、

（三）講解例題

例1國家環(huán)保局在規(guī)定的排污達標的日期前，對甲、乙兩家企業(yè)進行檢查，其連續(xù)檢測結(jié)果如圖所示（圖中w1（t），w2（t）分別表示甲、乙企業(yè)在時刻t的排污量）、試問哪個企業(yè)的治污效果較好？

分析：本題主要體現(xiàn)差商（即差分和對應(yīng)步長的比）定義在現(xiàn)實生活中的運用，要想知道哪個企業(yè)的治污效果好，關(guān)鍵看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好、解：在時刻t1處，雖然w1（t）=w2（t），排即排污量相同，但是考慮到一開始污量有w1（t0）＞w2（t0），所以有w1（t）w1(t1)w1(t0)w2(t1)w2(t0)

t1t0t1t0w2（t）標準t1t2說明在單位時間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大、即企業(yè)甲的治污效果要好一些、例2投石入水，水面產(chǎn)生圓形波紋區(qū)、

圓的面積隨著波紋的傳播半徑r的增大而增大（如圖），

ar=ar=a+h計算：

（1）半徑r從a增加到a+h時，圓面積相對于r的平均變化率；

（2）半徑r=a時，圓面積相對于r的瞬時變化率、分析：本例中的題（1）是求變化中的幾何圖形（圓）面積的平均變化率。它同例1及我們前面討論過的運動物體的平均速度，以及函數(shù)曲線的割線斜率一樣，從數(shù)學的角度看，都是函數(shù)值的改變量與對應(yīng)的自變量的改變量的比，即差商。而題（2）則是求圓面積的瞬時變化率，實際實際上就是求函數(shù)sa的瞬時變化率、而它與我們已經(jīng)較為熟悉的瞬時速度，切線的斜率等都是相應(yīng)函數(shù)的瞬時變化率。利用本例，課本給出了函數(shù)導數(shù)的概念，而學生則又一次體驗尋求瞬時變化率（即平均變化率在某點處的極限）的過程、有利于學生更深刻理解導數(shù)的概念、解：

（1）半徑r從a增加到a+h時，圓面積從a增加到(ah)2，其改變量為

22[(ah)2a2]，而半徑r的改變量為h，兩者的比就是所求的圓面積相對于半徑r的平均變化率：[(ah)2a2]h(2ahh2)h(2ah)

（2）在上面得到的平均變化率表達式中，讓r的改變量h趨于0，得到半徑r=a時，圓面積相對于r的瞬時變化率為2a、at。

2例3在初速度為零的勻加速運動中，路程s和時間t的關(guān)系為ss(t)、

2（1）求s關(guān)于t的變化率，并說明其物理意義；

（2）求運動物體的瞬時速度關(guān)于t的變化率，說明其物理意義、

分析：本題是導數(shù)概念在物理學中的運用，題（1）直接利用導數(shù)的定義運算得出位移函數(shù)s關(guān)于時間t的導數(shù)（即運動物體的瞬時速度），而題（2）則是求瞬時速度關(guān)于時間t的瞬時變化率（運動物體的加速度）、通過本例，一方面加深學生對導數(shù)定義的理解，另一方面則從數(shù)學的角度對加速度作了較為嚴格的定義、

at2解：（1）s關(guān)于t的變化率就是函數(shù)ss(t)的導數(shù)s(t)、按定義計算有

2a(td)2at2d2a(td)s(td)s(t)ad222，當d趨于0時，此式趨于at，atddd2即s(t)at、從物理上看，s關(guān)于t的變化率at就是運動物體的瞬時速度、（2）運動物體的瞬時速度關(guān)于t的變化率，就是s(t)at的導數(shù)s"(t)、按定義運算有

s(td)s(t)a(td)atada，當d趨于0時，a還是a，所以s"(t)=a，它ddd是運動物體的加速度、

（四）應(yīng)用新知

課本p95——練習1，2解：1．函數(shù)y=x2－3x在區(qū)間[－1，1]上的平均變化率為－3、3(2d)22(2d)13222212．[2，2+d]上的平均速度143d，當d=1d時，平均速度為17，當d=0、1時，平均速度為14、3，當d=0、01時，平均速度為14、03，令d趨向于0，得到在t=2時的瞬時速度為14。

（五）課堂小結(jié)

1．導數(shù)的定義是什么？

2．用定義求解函數(shù)的導數(shù)的步驟有幾步？

課本p95—習題3

導數(shù)的概念教學設(shè)計與反思篇二

導數(shù)的概念是高中新教材人教a版選修2-2第一章1.1.2的內(nèi)容，是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節(jié)課所學的平均變化率基礎(chǔ)上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系，從實例出發(fā)得到導數(shù)的概念，為以后更好地研究導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù)。

問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點

1、知識與技能：

通過大量的實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學思想方法

3、情感、態(tài)度與價值觀：

通過運動的觀點體會導數(shù)的內(nèi)涵，使學生掌握導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

重點：導數(shù)概念的形成，導數(shù)內(nèi)涵的理解

難點：在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內(nèi)涵

通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點

教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計思路

創(chuàng)設(shè)情景

引入新課

幻燈片

回顧上節(jié)課留下的思考題：

在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎

首先回顧上節(jié)課留下的思考題：

在學生相互討論，交流結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出：大家得到運動員在這段時間內(nèi)的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內(nèi)并沒有“靜止”。為什么會產(chǎn)生這樣的情況呢

引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內(nèi)的運動狀態(tài)，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。

使學生帶著問題走進課堂，激發(fā)學生求知欲

初步探索、展示內(nèi)涵

根據(jù)學生的認知水平，概念的形成分了兩個層次：

結(jié)合跳水問題，明確瞬時速度的定義

問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度

提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化

理解導數(shù)的內(nèi)涵是本節(jié)課的教學重難點，通過層層設(shè)疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點

問題二：請大家繼續(xù)思考，當δt取不同值時，嘗試計算的值

δt

δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

學生對概念的認知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù)，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，

幫助學生體會從平均速度出發(fā)，“以已知探求未知”的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的動手操作能力

問題三：當δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢

δt

δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分組討論，上臺板演，展示計算結(jié)果，同時口答：在t=2時刻，δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便，數(shù)學中用簡潔的符號來表示，即數(shù)形結(jié)合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數(shù)學的簡約美

問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢

引導學生繼續(xù)思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示學生意識到將代替2，可類比得到

與舊教材相比，這里不提及極限概念，而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度，更符合學生的認知規(guī)律，提高了他們的思維能力，體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法

借助其它實例，抽象導數(shù)的概念

問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢

類比之前學習的瞬時速度問題，引導學生得到瞬時膨脹率的表示

積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯(lián)系，有助于知識的重組和遷移，尋找不同實際背景下的數(shù)學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義

問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率如何呢

在前面兩個問題的鋪墊下，進一步提出，我們這里研究的函數(shù)在處的瞬時變化率即在處的導數(shù)，記作

(也可記為)

引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象得到導數(shù)定義，由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數(shù)產(chǎn)生的時代背景，讓學生感受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活。

循序漸進、延伸

拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為

(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

步驟：

①啟發(fā)學生根據(jù)導數(shù)定義，再分別求出和

②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎

③大家是否能用同樣方法來解決問題二

④師生共同歸納得到，導數(shù)即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢

步步設(shè)問，引導學生深入探究導數(shù)內(nèi)涵

發(fā)展學生的應(yīng)用意識，是高中數(shù)學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體，加深學生對導數(shù)內(nèi)涵的理解，體驗數(shù)學在實際生活中的應(yīng)用

變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關(guān)系s(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度

(2)求物體在t時刻的瞬時速度

(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動

學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想

目的是讓學生學會用數(shù)學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律

歸納總結(jié)

內(nèi)化知識

1、瞬時速度的概念

2、導數(shù)的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出

讓學生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學習習慣

作業(yè)安排、板書設(shè)計(必做)第10頁習題a組第2、3、4題

(選做)：思考第11頁習題b組第1題作業(yè)是學生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教

附后板書設(shè)計清楚整潔，便于突出知識目標

學法與教學用具

學法：

(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)

(2)自主學習：引導學生通過親身經(jīng)歷，動口、動腦、動手參與數(shù)學活動。(如問題3的處理)

(3)探究學習：引導學生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)

教學用具：電腦、多媒體、計算器

教法：整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出①動——師生互動、共同探索。②導——教師指導、循序漸進

(1)新課引入——提出問題，激發(fā)學生的求知欲

(2)理解導數(shù)的內(nèi)涵——數(shù)形結(jié)合，動手計算，組織學生自主探索，獲得導數(shù)的定義

(3)例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，讓他們在探索中自得知識

(4)變式練習 ——深化對導數(shù)內(nèi)涵的理解，鞏固新知

這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數(shù)，展示了一個完整的數(shù)學探究過程。提出問題、計算觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、給出定義，讓學生經(jīng)歷了知識再發(fā)現(xiàn)的過程，促進了個性化學習。

從舊教材上看，導數(shù)概念學習的起點是極限，即從數(shù)列的極限，到函數(shù)的極限，再到導數(shù)。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數(shù)本質(zhì)的理解。

新教材不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數(shù)。

通過列表計算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;

這樣定義導數(shù)的優(yōu)點：

1.避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;

2.將更多精力放在導數(shù)本質(zhì)的理解上;

3.學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義。

(附)板書設(shè)計

導數(shù)的概念教學設(shè)計與反思篇三

1.1教學標準

（1）通過情境的介紹，讓學生知道導數(shù)的實際背景，體驗學習導數(shù)的必要性；

（2）通過大量的實例的分析，讓學生知道平均變化率的意義，體會平均變化率的思想及內(nèi)涵，為后續(xù)建立瞬時變化率和導數(shù)的數(shù)學模型提供豐富的背景；

（3）通過實例的分析，讓學生感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運用數(shù)學描述刻畫現(xiàn)實世界的過程，體會數(shù)學知識來源于生活，又服務(wù)于生活，感悟數(shù)學的價值；

（4）通過問題探索、觀察分析、歸納總結(jié)等方式，引導學生從變量和函數(shù)的角度來描述變化率，進而抽象概括出函數(shù)的平均變化率，會求函數(shù)的平均變化率。

1.2標準解析

1.21內(nèi)容解析

本節(jié)是導數(shù)的起始課，主要包括三方面的內(nèi)容：變化率、導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義。實際上，它們是理解導數(shù)思想及其內(nèi)涵的不同角度。首先，從平均變化率開始，利用平均變化率探求瞬時變化率，并從數(shù)學上給予各種不同變化率在數(shù)量上精確描述，即導數(shù)；然后，從數(shù)轉(zhuǎn)向形，借助函數(shù)圖象，探求切線斜率和導數(shù)的關(guān)系，說明導數(shù)的幾何意義。根據(jù)教材的安排，本節(jié)內(nèi)容分4課時完成。第一課時介紹平均變化率問題，在“氣球膨脹率”、“高臺跳水”兩個問題的基礎(chǔ)上，歸納出它們的共同特征，用f（x）表示其中的函數(shù)關(guān)系，定義了一般的平均變化率，并給出符號表示。本節(jié)內(nèi)容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎(chǔ)上，要求學生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟。平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學中占有極其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的滲透。

教學重點在實際背景下直觀地解釋函數(shù)的變化率、平均變化率。

1.22學情診斷

吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗，運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這兩個實例的共同點是背景簡單。從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學生原有的知識經(jīng)驗，又可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數(shù)學知識學習的干擾，這是有利的方面。但是如何從具體實例中抽象出共同的數(shù)學問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學的關(guān)鍵。而對本節(jié)課（導數(shù)的概念），學生是在充滿好奇卻又一無所知的狀態(tài)下開始學習的，因此若能讓學生主動參與到導數(shù)的`起始課學習過程，讓學生體會到自己在學“有價值的數(shù)學”，必能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的自信心。

教學難點如何從兩個具體的實例歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念，對生活現(xiàn)象作出數(shù)學解釋。

1.23教學對策

本節(jié)作為導數(shù)的起始課，同時也是個概念課，如何自然引入導數(shù)的概念是至關(guān)重要的。為了有效實現(xiàn)教學目標，準備投影儀、多媒體課件等.

①在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想。

②通過應(yīng)用舉例的教學，不斷地提供給學生比較、分析、歸納、綜合的機會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學生的認知基礎(chǔ)，又促使學生在原有認知基礎(chǔ)上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規(guī)律。

1.24教學流程設(shè)置情境→提出問題→知識遷移→概括小結(jié)→課后延伸。

2.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立與自然科學中四類問題的處理直接相關(guān)：（課件演示相關(guān)問題情境）

（1）已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度等；

（2）求曲線的切線；

（3）求已知函數(shù)的最大值與最小值；

（4）求長度、面積、體積和重心等。

導數(shù)是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具。導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度。

評析充分利用章引言中提示的微積分史料，引導學生探尋微積分發(fā)展的線索，體會微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系，初步了解本章的學習內(nèi)容，從而激發(fā)他們學習本章內(nèi)容的興趣。

2.2提出問題，探求新知

問題1氣球膨脹率（課件演示“吹氣球”）

我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢。從數(shù)學角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

氣球的體積v（單位：l）與半徑r（單位：dm）之間的函數(shù)關(guān)系是v（r）=43πr3；

如果將半徑r表示為體積v的函數(shù)，那么r（v）=33v4π。

師：當v從0增加到1時，氣球半徑增加了多少？如何表示？

生：r（1）-r（0）≈0.62（dm）.

師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？

生：r（1）-r（0）1-0≈0.62（dm/l）.

師：當v從1增加到2時，氣球半徑增加了多少？如何表示？

生：r（2）-r（1）≈0.16（dm）.

師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？

生：r（2）-r（1）2-1≈0.16（dm/l）.

師：非常好！可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了。

歸納到一般情形，當空氣容量從v1增加到v2時，氣球的平均膨脹率是多少？

生：r（v2）-r（v1）v2-v1.

師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。

評析通過熟悉的生活體驗，提煉出數(shù)學模型，從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。自然合理地提出問題，讓學生體會“數(shù)學來源于生活”，創(chuàng)造和諧積極的學習氛圍，讓學生能通過感知表象后，學會進一步探討問題的本質(zhì)，學會使用數(shù)學語言和數(shù)學的觀點分析問題，避免淺嘗輒止和過分依賴老師。

問題2高臺跳水（觀看多媒體視頻）

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)？

師：請同學們分組，思考計算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度。

生：（第一組）在0≤t≤0.5這段時間里，=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）；

生：（第二組）在1≤t≤2這段時間里，=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）

師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題.對第（2）小題的答案說明其物理意義。

評析高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率――運動速度，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數(shù)學知識學習的干擾。通過計算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景。

師：（探究）計算運動員在0≤t≤6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

（1）運動員在這段時間內(nèi)是靜止的嗎？

（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題。對答案加以說明其物理意義（可以結(jié)合圖像說明）。

評析通過計算得出平均速度只能粗略地描述運動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導數(shù)的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。

（1）讓學生親自計算和思考，展開討論；

（2）老師慢慢引導學生說出自己的發(fā)現(xiàn)，并初步修正到最終的結(jié)論上；

（3）得到結(jié)論是：①平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運動狀態(tài)；

②需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)。

思考：當運動員起跳后的時間從t1增加到t2時，運動員的平均速度是多少？

師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。通過引導，使學生逐步歸納出問題1、2的共性。

評析把問題2中的具體數(shù)據(jù)運算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學思想，同時為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊。

2.3知識遷移，把握本質(zhì)

（1）上述問題中的變化率可用式子f（x2）-f（x1）x2-x1表示，稱為函數(shù)f（x）從x1到x2的平均變化率.

（2）若設(shè)δx=x2-x1，δy=f（x2）-f（x1）.（這里δx看作是對于x1的一個“增量”，可用x1+δx代替x2）.

（3）則平均變化率為δyδx=f（x2）-f（x1）x2-x1=f（x1+δx）-f（x1）δx.

思考：觀察函數(shù)f（x）的圖象，平均變化率δyδx=f（x2）-f（x1）x2-x1表示什么？

生：曲線y=f（x）上兩點（x1，f（x1））、（x2，f（x2））連線的斜率（割線的斜率）.

生：（補充）平均變化率反映了函數(shù)在某個區(qū)間上平均變化的趨勢（變化快慢），即在某個區(qū)間上曲線陡峭的程度.

師：兩位同學回答得非常好！那么，計算平均變化率的步驟是什么？

生：①求自變量的增量δx=x2-x1；②求函數(shù)的增量δy=f（x2）-f（x1）；③求平均變化率δyδx=f（x2）-f（x1）x2-x1.

評析通過對一些熟悉的實例中變化率的理解，逐步推廣到一般情況，即從函數(shù)的角度去分析、應(yīng)用變化率，并結(jié)合圖形直觀理解變化率的幾何意義，從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。為進一步加深理解變化率與導數(shù)作好鋪墊。

2.4知識應(yīng)用，提高能力

例1已知函數(shù)f（x）=-x2+x圖象上的一點a（-1，-2）及臨近一點b（-1+δx，-2+δy），則δyδx=

例2求y=x2在x=x0附近的平均變化率。

2.5課堂練習，自我檢測

（1）質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3，則在時間（3，3+δt）中相應(yīng)的平均速度為

（2）物體按照s（t）=3t2+t+4的規(guī)律作運動，求在4s附近的平均變化率

（3）過曲線f（x）=x3上兩點p（1，1）和p′（1+δx，1+δy）作曲線的割線，求出當δx=0.1時割線的斜率

評析概念的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學思想，符合學生的認知規(guī)律

2.6課堂小結(jié)，知識再現(xiàn)

（1）函數(shù)平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結(jié)出來的？

（2）求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的？

（3）這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學思想？

師生活動：最后師生共同歸納總結(jié)：函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學思想有：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合。

評析復習重點知識、思想方法，完善學生的認知結(jié)構(gòu)。

2.7布置作業(yè)，課后延伸

（1）課本第10頁：習題a組：第1題

（2）課后思考問題：需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)，那么該量應(yīng)如何定義？

在教學設(shè)計時，我把“平均變化率”當成本節(jié)課的核心概念。教學的預設(shè)目標基本完成，特別是知識目標，學生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率。根據(jù)這一節(jié)課的內(nèi)容特點以及學生的實際情況，在教學過程中讓學生自己去感受問題情境中提出的問題，并以此作為突破口，啟發(fā)、引導學生得出函數(shù)的平均變化率。

成功之處：通過生活中的實例，引導學生分析和歸納，讓學生在已有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識，從而達到概念的自然形成，進而從數(shù)學的外部到數(shù)學的內(nèi)部，啟發(fā)學生運用概念探究新問題。這樣學生不會感到突兀，并能進一步感受到數(shù)學來源于生活，生活中處處蘊含著數(shù)學化的知識，同時可以提高他們學習數(shù)學的主觀能動性。教學的預設(shè)目標基本完成，特別是知識目標，學生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率。

改進之處：課堂實施過程中，雖然在形式上沒有將知識直接拋給學生，但自己的“引導”具有明顯的“牽”的味道.在教學過程中，雖然能關(guān)注到適當?shù)挠嬎懔浚ぐl(fā)學生思維的好問題不多。整堂課學生的思維量不夠，學生缺少思辯，同時留給學生判斷和分析的成分、時間都不夠。

采用相互討論、探究規(guī)律和引導發(fā)現(xiàn)的教學方法，通過不斷出現(xiàn)的一個個問題，一步步創(chuàng)設(shè)出使學生有興趣探索知識的“情境”，營造生動活潑的課堂教學氣氛，充分發(fā)揮學生的主體地位，通過實例，引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從而更好地理解變化率問題。

4.1注重情境創(chuàng)設(shè)，適度使數(shù)學生活化、情境化

注重情境創(chuàng)設(shè)，適度使數(shù)學生活化、情境化而又不失濃厚的數(shù)學味，可以激發(fā)學生學習的內(nèi)在需要，把學生引入到身臨其境的環(huán)境中去，自然地生發(fā)學習需求。因此，本節(jié)課以兩個實際問題（吹氣球和高臺跳水）為情景，在激發(fā)主體興趣的前提下，引導學生在生活感受的基礎(chǔ)之上從數(shù)學的角度刻畫“吹氣球”和“高臺跳水”，并注重數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。

4.2準確定位，精心設(shè)問，注重學生合作交流

教師的角色始終是數(shù)學活動的組織者，參與并引導學生從事有效的學習活動，并在學生遇到困難時，適時點撥，讓學生體會到學習數(shù)學的過程是人生的一種有意義的經(jīng)歷和體驗，從而發(fā)揮學生學習數(shù)學的能動性和創(chuàng)造性。教師精心設(shè)計好問題，從而更好地激發(fā)每個學生積極主動地參與到數(shù)學學習活動中來，讓學生在解決問題時又不斷產(chǎn)生新的思維火花，在解決問題的過程中達到學習新知識的目的和激發(fā)創(chuàng)新的意識.因此，本課采用自主探索、合作交流的探究式學習方式，使學生真正成為學習的主人。

4.3借用信息技術(shù)輔助，強化直觀感知

在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實例（吹氣球和高臺跳水）的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想。同時幫助學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使探究落到實處。

導數(shù)的概念教學設(shè)計與反思篇四

導數(shù)是近代數(shù)學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲。《導數(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計，敬請各位專家斧正。

1.1編者意圖《導數(shù)的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數(shù)的概念”，“導數(shù)的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數(shù)的概念；介紹導數(shù)的幾何意義，是為了加深對導數(shù)的理解。從而充分借助直觀來引出導數(shù)的概念；用極限思想抽象出導數(shù)；用函數(shù)思想拓展、完善導數(shù)以及在應(yīng)用中鞏固、反思導數(shù)，教材的顯著特點是從具體經(jīng)驗出發(fā)，向抽象和普遍發(fā)展，使探究知識的過程簡單、經(jīng)濟、有效。

1.2導數(shù)概念在教材的地位和作用“導數(shù)的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹?shù)慕Y(jié)構(gòu)，更重要的是，導數(shù)運算是一種高明的數(shù)學思維，用導數(shù)的運算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結(jié)果；把運算對象作用于導數(shù)上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數(shù)學中的不少問題；導數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經(jīng)濟學等其它學科和生產(chǎn)、生活的各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。導數(shù)的出現(xiàn)推動了人類事業(yè)向前發(fā)展。

1.3教材的內(nèi)容剖析知識主體結(jié)構(gòu)的比較和知識的遷移類比如下表：

表1、知識主體結(jié)構(gòu)比較

通過比較發(fā)現(xiàn)：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數(shù)的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結(jié)為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構(gòu)提供了有效的類比方法。

1.4重、難點剖析

重點：導數(shù)的概念的形成過程。

難點：對導數(shù)概念的理解。

為什么這樣確定呢？導數(shù)概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)可導→f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)的導函數(shù)→導數(shù)，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數(shù)概念的形成過程是重點；教材中出現(xiàn)了兩個“導數(shù)”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數(shù)到底是個什么東西？一個函數(shù)是不是有兩種導數(shù)呢？”，“導函數(shù)與導數(shù)是怎么統(tǒng)一的？”。事實上：

（1）f（x）在點x0處的導數(shù)是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數(shù)，區(qū)別于導函數(shù)。

（2）f（x）的導數(shù)是對開區(qū)間內(nèi)任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數(shù)思想。

（3）導函數(shù)就是導數(shù)！是特殊的函數(shù)：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)可導、最后定義f（x）在開區(qū)間的導函數(shù)。

（4）y=f（x）在x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數(shù)的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關(guān)鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系，會出現(xiàn)較大的分歧和差別，要突破難點，關(guān)鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區(qū)間的導函數(shù)”和“導數(shù)”之間的聯(lián)系，而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比！用“速度與導數(shù)”進行類比。

2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎(chǔ)；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。

2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結(jié)合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：

知識目標：

①理解導數(shù)的概念。

②掌握用定義求導數(shù)的方法。

③領(lǐng)悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想。

能力目標：

①培養(yǎng)學生歸納、抽象和概括的能力。

②培養(yǎng)學生的數(shù)學符號表示和數(shù)學語言表達能力。

情感目標：通過導數(shù)概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學問題的積極態(tài)度。

設(shè)計理念：遵循特殊到一般的認知規(guī)律，結(jié)合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數(shù)的形成，發(fā)展和應(yīng)用過程，幫助學生主動建構(gòu)概念。

導數(shù)的概念教學設(shè)計與反思篇五

導數(shù)的概念是高中新教材人教a版選修2-2第一章1.1.2的內(nèi)容， 是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節(jié)課所學的平均變化率基礎(chǔ)上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系，從實例出發(fā)得到導數(shù)的概念，為以后更好地研究導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù)。

問題1 氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2 高臺跳水的平均速度--→瞬時速度

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，立足學生的認知水平 ，制定如下教學目標和重、難點

1、知識與技能：

通過大量的實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學思想方法

3、情感、態(tài)度與價值觀：

通過運動的觀點體會導數(shù)的內(nèi)涵，使學生掌握導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

重點：導數(shù)概念的形成，導數(shù)內(nèi)涵的理解

難點：在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內(nèi)涵

通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點